Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 2.4 x + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2.4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2.4 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 2.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2.4 x$ em relação a $x$ é $- 2.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2.4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2.4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 2.4$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2.4 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 2.4 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $3 x^{2} - 2.4$ e $0$ .

$3 x^{2} - 2.4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2.4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2.4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2.4)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 2.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2.4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 2.4 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2.4 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2.4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2.4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2.4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2.4 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 2.4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2.4 x$ em relação a $x$ é $- 2.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- 2.4$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4 + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $3 x^{2} - 2.4$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2.4$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 2.4$ .

$3 x^{2} - 2.4$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 2.4 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 2.4 = 0$

Etapa 5.2

Some $2.4$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 2.4$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 2.4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 2.4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2.4}{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2.4}{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2.4}{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $2.4$ por $3$ .

$x^{2} = 0.8$

Etapa 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.8}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{0.8}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{0.8}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{0.8}, - \sqrt{0.8}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt{0.8}, - \sqrt{0.8}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{0.8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\sqrt{0.8})$

Etapa 9

Multiplique $6$ por $\sqrt{0.8}$ .

$6 \sqrt{0.8}$

Etapa 10

$x = \sqrt{0.8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{0.8}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{0.8}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{0.8}$ na expressão.

$f (\sqrt{0.8}) = {(\sqrt{0.8})}^{3} - 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{0.8}}^{3}$ como $\sqrt{{0.8}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.8}) = \sqrt{{0.8}^{3}} - 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $0.8$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{0.8}) = \sqrt{0.512} - 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 2.4$ por $\sqrt{0.8}$ .

$f (\sqrt{0.8}) = \sqrt{0.512} - 2.14662525 + 3$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 11.2.2.1

Subtraia $2.14662525$ de $\sqrt{0.512}$ .

$f (\sqrt{0.8}) = - 1.4310835 + 3$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 1.4310835$ e $3$ .

$f (\sqrt{0.8}) = 1.56891649$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1.56891649$ .

$y = 1.56891649$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{0.8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \sqrt{0.8})$

Etapa 13

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 6 \sqrt{0.8}$

Etapa 14

$x = - \sqrt{0.8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{0.8}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{0.8}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{0.8}$ na expressão.

$f (- \sqrt{0.8}) = {(- \sqrt{0.8})}^{3} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{0.8}$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{0.8}}^{3} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - {\sqrt{0.8}}^{3} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Etapa 15.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{0.8}}^{3}$ como $\sqrt{{0.8}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{{0.8}^{3}} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $0.8$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{0.512} - 2.4 (- \sqrt{0.8}) + 3$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 2.4 (- \sqrt{0.8})$ .

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Etapa 15.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 2.4$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{0.512} + 2.4 \sqrt{0.8} + 3$

Etapa 15.2.1.5.2

Multiplique $2.4$ por $\sqrt{0.8}$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = - \sqrt{0.512} + 2.14662525 + 3$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 15.2.2.1

Some $- \sqrt{0.512}$ e $2.14662525$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = 1.4310835 + 3$

Etapa 15.2.2.2

Some $1.4310835$ e $3$ .

$f (- \sqrt{0.8}) = 4.4310835$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $4.4310835$ .

$y = 4.4310835$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 2.4 x + 3$ .

$(\sqrt{0.8}, 1.56891649)$ é um mínimo local

$(- \sqrt{0.8}, 4.4310835)$ é um máximo local

Etapa 17