Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3} - 20 x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- 4 x$ de $- 20 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} - 10 u - 75$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 75$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 15, 5$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

Etapa 2.1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x^{2} + 5$ de $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

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Etapa 2.1.7.1

Fatore $x^{2} + 5$ de $- 4 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $x^{2} + 5$ de $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

Etapa 2.1.8

Reordene os termos.

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 5$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 2.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{5}$

Etapa 2.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 4 x - 15$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 4 x - 15$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 15$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Some $16$ e $60$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Etapa 2.4.2.3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ verdadeiro.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Etapa 3