Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

Etapa 1

Defina $x^{5} + x^{3} - 42 x$ como igual a $0$ .

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{5} + x^{3} - 42 x$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $x$ de $- 42 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ .

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

Etapa 2.1.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $u^{2} + u - 42$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 42$ e cuja soma é $1$ .

$- 6, 7$

Etapa 2.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

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Etapa 2.1.5.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 6$

Etapa 2.4.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Etapa 2.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{6}$

Etapa 2.4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{6}$

Etapa 2.4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + 7$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 7$

Etapa 2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Etapa 2.5.2.3.1

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Etapa 2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Etapa 2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{7}$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{7}$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Etapa 3