Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x)$

Etapa 1

Defina $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ como igual a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cos (2 x)) = 2 \cdot 0$

Etapa 2.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \cos (2 x))$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (2 x)$ .

$2 \frac{\cos (2 x)}{2} = 2 \cdot 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\cos (2 x)}{2} = 2 \cdot 0$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\cos (2 x) = 2 \cdot 0$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.5

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 2.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Resolva $x$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.7.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.7.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.7.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.7.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.7.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.7.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.7.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.8

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.9

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3