Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) + 2$

Etapa 1

Defina $\sqrt{3} \csc (x) + 2$ como igual a $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) + 2 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{3} \csc (x) = - 2$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ por $\sqrt{3}$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\csc (x)$ por $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 2.2.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.2.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.2.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.2.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 2.5

A função do cosseno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 2.8.3

Combine frações.

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Etapa 2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 2.8.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 2.9

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3