Pré-cálculo Exemplos

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

Etapa 1

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. O conjunto de soluções para $θ$ está limitado ao quarto quadrante, que é o único quadrante encontrado nos dois conjuntos.

A solução está no quarto quadrante.

Etapa 2

Use a definição de cosseno para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\cos (θ) = \frac{adjacente}{hipotenusa}$

Etapa 3

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = - \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 4

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique dentro do radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Negative $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ .

Oposto $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

Oposto $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

Oposto $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

Oposto $= - \sqrt{9 - 4}$

Etapa 5.5

Subtraia $4$ de $9$ .

Oposto $= - \sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre o valor do seno.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 7

Encontre o valor da tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

Etapa 8.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 8.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 8.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 8.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 9

Encontre o valor da secante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

Etapa 10

Encontre o valor da cossecante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 10.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

Etapa 10.3

Simplifique o valor de $\csc (θ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\csc (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 10.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 10.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 10.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 10.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 10.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 10.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 11

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$