Pré-cálculo Exemplos

$z^{4} = 81 i$

Etapa 1

Substitua $u$ por $z^{4}$ .

$u^{4} = 81 i$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = 0$ e $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Etapa 5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 81$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Etapa 7

Como o argumento é indefinido e $b$ é positivo, o ângulo do ponto no plano complexo é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{2}$ e $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 9

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 10

Use o teorema de De Moivre para encontrar uma equação para $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 11

Equacione o módulo da forma trigonométrica como $r^{4}$ para encontrar o valor de $r$ .

$r^{4} = 81$

Etapa 12

Resolva a equação para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Etapa 12.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Reescreva $81$ como $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Etapa 12.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = \pm 3$

Etapa 12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = 3$

Etapa 12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - 3$

Etapa 12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = 3, - 3$

Etapa 13

Encontre o valor aproximado de $r$ .

$r = 3$

Etapa 14

Encontre os valores possíveis de $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ e $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Etapa 15

Encontrar todos os valores possíveis de $θ$ leva à equação $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Etapa 16

Encontre o valor de $θ$ para $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Etapa 17

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Etapa 17.1.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Etapa 17.1.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Etapa 17.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 17.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Etapa 17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 17.2.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 17.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Etapa 18

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Etapa 19.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.2.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Etapa 19.1.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Etapa 19.1.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no primeiro quadrante.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Etapa 19.1.2.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.2.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 19.1.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 19.1.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 19.1.2.4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Etapa 19.1.2.4.5

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.2.4.5.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Etapa 19.1.2.4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Etapa 19.1.2.4.6

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Etapa 19.1.2.4.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.2.4.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Etapa 19.1.2.4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Etapa 19.1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 19.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 19.2.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 20

Substitua $z^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 21

Encontre o valor de $θ$ para $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Etapa 22

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 22.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 22.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Etapa 22.1.6

Some $π$ e $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Etapa 22.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{5 π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{5 π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Etapa 22.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Etapa 22.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Etapa 22.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 22.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Etapa 22.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Etapa 23

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{5 π}{8})$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1.1

Reescreva $\frac{5 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 24.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{5 π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.2.1

Reescreva $\frac{5 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Etapa 24.1.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Etapa 24.1.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Etapa 24.1.2.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.2.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Etapa 24.1.2.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.2.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Etapa 24.1.2.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Etapa 24.1.2.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Etapa 24.1.2.4.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.2.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Etapa 24.1.2.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Etapa 24.1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 24.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 24.2.2

Combine $3$ e $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 24.2.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 24.2.4

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Etapa 24.2.5

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Etapa 24.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.6.1

Reescreva $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ como $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Etapa 24.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 25

Substitua $z^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 26

Encontre o valor de $θ$ para $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Etapa 27

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Etapa 27.1.2

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 27.1.3

Combine $4 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Etapa 27.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Etapa 27.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Etapa 27.1.6

Some $π$ e $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Etapa 27.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{9 π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{9 π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Etapa 27.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Etapa 27.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Etapa 27.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 27.2.3.2

Multiplique $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.2.1

Multiplique $\frac{9 π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Etapa 27.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Etapa 28

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{9 π}{8})$ é $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1.1

Reescreva $\frac{9 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Etapa 29.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{9 π}{8})$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.2.1

Reescreva $\frac{9 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Etapa 29.1.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Etapa 29.1.2.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o seno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Etapa 29.1.2.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.2.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Etapa 29.1.2.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 29.1.2.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 29.1.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 29.1.2.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Etapa 29.1.2.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.2.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Etapa 29.1.2.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Etapa 29.1.2.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Etapa 29.1.2.4.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.2.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Etapa 29.1.2.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Etapa 29.1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 29.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 29.2.2

Combine $3$ e $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 29.2.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 29.2.4

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Etapa 29.2.5

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Etapa 29.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.2.6.1

Reescreva $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ como $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Etapa 29.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 30

Substitua $z^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 31

Encontre o valor de $θ$ para $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Etapa 32

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Etapa 32.1.2

Para escrever $6 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 32.1.3

Combine $6 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Etapa 32.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Etapa 32.1.5

Multiplique $2$ por $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Etapa 32.1.6

Some $π$ e $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Etapa 32.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{13 π}{2}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{13 π}{2}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Etapa 32.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Etapa 32.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Etapa 32.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 32.2.3.2

Multiplique $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.3.2.1

Multiplique $\frac{13 π}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Etapa 32.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Etapa 33

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{13 π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1.1

Reescreva $\frac{13 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no quarto quadrante.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.7

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1.4.7.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.9

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.1.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Etapa 34.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{13 π}{8})$ é $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.2.1

Reescreva $\frac{13 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Etapa 34.1.2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Etapa 34.1.2.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o seno é negativo no quarto quadrante.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.2.4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.2.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Etapa 34.1.2.4.8

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 34.1.2.4.8.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Etapa 34.1.2.4.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Etapa 34.1.2.4.9

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Etapa 34.1.2.4.10

Simplifique o denominador.

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Etapa 34.1.2.4.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Etapa 34.1.2.4.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Etapa 34.1.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 34.2

Combine frações.

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Etapa 34.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 34.2.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 35

Substitua $z^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Etapa 36

Essas são as soluções complexas para $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$