Pré-cálculo Exemplos

$\frac{35}{2 x (3 x + 7)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 7}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $2 x (3 x + 7)$ .

$\frac{35 (2 x (3 x + 7))}{2 x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{35 (2 x (3 x + 7))}{2 x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{35 (x (3 x + 7))}{x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{35 (x (3 x + 7))}{x (3 x + 7)} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{35 (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $3 x + 7$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{35 (3 x + 7)}{3 x + 7} = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.5.2

Divida $35$ por $1$ .

$35 = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$35 = \frac{A (2 x (3 x + 7))}{x} + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (2 (3 x + 7))$ por $1$ .

$35 = A (2 (3 x + 7)) + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$35 = 2 A (3 x + 7) + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$35 = 2 A (3 x) + 2 A \cdot 7 + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$35 = 2 \cdot (3 A x) + 2 A \cdot 7 + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.5

Multiplique $7$ por $2$ .

$35 = 2 \cdot (3 A x) + 14 A + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$35 = 6 A x + 14 A + \frac{(B) (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.7

Cancele o fator comum de $3 x + 7$ .

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Etapa 1.6.7.1

Cancele o fator comum.

$35 = 6 A x + 14 A + \frac{B (2 x (3 x + 7))}{3 x + 7}$

Etapa 1.6.7.2

Divida $(B) (2 x)$ por $1$ .

$35 = 6 A x + 14 A + (B) (2 x)$

Etapa 1.6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$35 = 6 A x + 14 A + 2 B x$

Etapa 1.7

Reordene.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$35 = 6 x A + 14 A + 2 B x$

Etapa 1.7.2

Mova $B$ .

$35 = 6 x A + 14 A + 2 x B$

Etapa 1.7.3

Mova $14 A$ .

$35 = 6 x A + 2 x B + 14 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$35 = 14 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 6 A + 2 B$

$35 = 14 A$

$0 = 6 A + 2 B$

$35 = 14 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $35 = 14 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $14 A = 35$ .

$14 A = 35$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $14 A = 35$ por $14$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $14 A = 35$ por $14$ .

$\frac{14 A}{14} = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $14$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 A}{14} = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{35}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $35$ e $14$ .

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Fatore $7$ de $35$ .

$A = \frac{7 (5)}{14}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.3.1.2.1

Fatore $7$ de $14$ .

$A = \frac{7 \cdot 5}{7 \cdot 2}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{7 \cdot 5}{7 \cdot 2}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 6 A + 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{5}{2}$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 6 A + 2 B$ por $\frac{5}{2}$ .

$0 = 6 (\frac{5}{2}) + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$0 = 2 (3) (\frac{5}{2}) + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$0 = 2 \cdot (3 (\frac{5}{2})) + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$0 = 3 \cdot 5 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 3 \cdot 5 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

$0 = 15 + 2 B$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 15 + 2 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $15 + 2 B = 0$ .

$15 + 2 B = 0$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$2 B = - 15$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $2 B = - 15$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = - 15$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = \frac{- 15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{15}{2} A = \frac{5}{2}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{15}{2}, A = \frac{5}{2}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{3 x + 7}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{2}}{x} + \frac{- \frac{15}{2}}{3 x + 7}$