Pré-cálculo Exemplos

$\frac{(5 x - 15)}{(x - 5) (x + 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $5$ de $5 x - 15$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{5 (x) - 15}{(x - 5) (x + 1)}$

Etapa 1.1.2

Fatore $5$ de $- 15$ .

$\frac{5 x + 5 \cdot - 3}{(x - 5) (x + 1)}$

Etapa 1.1.3

Fatore $5$ de $5 x + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{5 (x - 3)}{(x - 5) (x + 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 5) (x + 1)$ .

$\frac{5 (x - 3) (x - 5) (x + 1)}{(x - 5) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 3) (x - 5) (x + 1)}{(x - 5) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (x - 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.6.2

Divida $5 (x - 3)$ por $1$ .

$5 (x - 3) = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x + 5 \cdot - 3 = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.8

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$5 x - 15 = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x - 15 = \frac{A (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.9.1.2

Divida $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$5 x - 15 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x - 15 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.9.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$5 x - 15 = A x + A + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.9.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$5 x - 15 = A x + A + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.9.4.2

Divida $(B) (x - 5)$ por $1$ .

$5 x - 15 = A x + A + (B) (x - 5)$

Etapa 1.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x - 15 = A x + A + B x + B \cdot - 5$

Etapa 1.9.6

Mova $- 5$ para a esquerda de $B$ .

$5 x - 15 = A x + A + B x - 5 B$

Etapa 1.10

Mova $A$ .

$5 x - 15 = A x + B x + A - 5 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 15 = A - 5 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$5 = A + B$

$- 15 = A - 5 B$

$5 = A + B$

$- 15 = A - 5 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $5 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 15 = A - 5 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 5 - B$

$- 15 = A - 5 B$

$A = 5 - B$

$- 15 = A - 5 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $5 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 15 = A - 5 B$ por $5 - B$ .

$- 15 = (5 - B) - 5 B$

$A = 5 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $5 B$ de $- B$ .

$- 15 = 5 - 6 B$

$A = 5 - B$

$- 15 = 5 - 6 B$

$A = 5 - B$

$- 15 = 5 - 6 B$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 15 = 5 - 6 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $5 - 6 B = - 15$ .

$5 - 6 B = - 15$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 6 B = - 15 - 5$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $5$ de $- 15$ .

$- 6 B = - 20$

$A = 5 - B$

$- 6 B = - 20$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 6 B = - 20$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 6 B = - 20$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 20$ e $- 6$ .

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Etapa 3.3.3.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 20$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 10}{- 6}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 6$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 10}{- 2 \cdot 3}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{- 2 \cdot 10}{- 2 \cdot 3}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{10}{3}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 5 - B$ por $\frac{10}{3}$ .

$A = 5 - (\frac{10}{3})$

$B = \frac{10}{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $5 - (\frac{10}{3})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine $5$ e $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{5 \cdot 3 - 10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.4.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$A = \frac{15 - 10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Etapa 3.4.2.1.4.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{10}{3}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{x - 5} + \frac{\frac{10}{3}}{x + 1}$