Pré-cálculo Exemplos

$\frac{8 x + 3}{(x + 3) (3 x - 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 3}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{3 x - 1}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 3) (3 x - 1)$ .

$\frac{(8 x + 3) (x + 3) (3 x - 1)}{(x + 3) (3 x - 1)} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(8 x + 3) (x + 3) (3 x - 1)}{(x + 3) (3 x - 1)} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(8 x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $3 x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(8 x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1} = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $8 x + 3$ por $1$ .

$8 x + 3 = \frac{(A) (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$8 x + 3 = \frac{A (x + 3) (3 x - 1)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (3 x - 1)$ por $1$ .

$8 x + 3 = (A) (3 x - 1) + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x + 3 = A (3 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x + 3 = 3 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$8 x + 3 = 3 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.5

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$8 x + 3 = 3 A x - A + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.6

Cancele o fator comum de $3 x - 1$ .

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Etapa 1.6.6.1

Cancele o fator comum.

$8 x + 3 = 3 A x - A + \frac{(B) (x + 3) (3 x - 1)}{3 x - 1}$

Etapa 1.6.6.2

Divida $(B) (x + 3)$ por $1$ .

$8 x + 3 = 3 A x - A + (B) (x + 3)$

Etapa 1.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x + 3 = 3 A x - A + B x + B \cdot 3$

Etapa 1.6.8

Mova $3$ para a esquerda de $B$ .

$8 x + 3 = 3 A x - A + B x + 3 B$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$8 x + 3 = 3 x A - A + B x + 3 B$

Etapa 1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$8 x + 3 = 3 x A - A + B x + 3 B$

Etapa 1.7.3

Mova $- A$ .

$8 x + 3 = 3 x A + B x - A + 3 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$8 = 3 A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = - 1 A + 3 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$8 = 3 A + B$

$3 = - 1 A + 3 B$

$8 = 3 A + B$

$3 = - 1 A + 3 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $B$ em $8 = 3 A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $3 A + B = 8$ .

$3 A + B = 8$

$3 = - 1 A + 3 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $3 A$ dos dois lados da equação.

$B = 8 - 3 A$

$3 = - 1 A + 3 B$

$B = 8 - 3 A$

$3 = - 1 A + 3 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $8 - 3 A$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $3 = - 1 A + 3 B$ por $8 - 3 A$ .

$3 = - 1 A + 3 (8 - 3 A)$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 1 A + 3 (8 - 3 A)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$3 = - A + 3 (8 - 3 A)$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 = - A + 3 \cdot 8 + 3 (- 3 A)$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$3 = - A + 24 + 3 (- 3 A)$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$3 = - A + 24 - 9 A$

$B = 8 - 3 A$

$3 = - A + 24 - 9 A$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $9 A$ de $- A$ .

$3 = - 10 A + 24$

$B = 8 - 3 A$

$3 = - 10 A + 24$

$B = 8 - 3 A$

$3 = - 10 A + 24$

$B = 8 - 3 A$

$3 = - 10 A + 24$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3

Resolva $A$ em $3 = - 10 A + 24$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 10 A + 24 = 3$ .

$- 10 A + 24 = 3$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$- 10 A = 3 - 24$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $24$ de $3$ .

$- 10 A = - 21$

$B = 8 - 3 A$

$- 10 A = - 21$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 10 A = - 21$ por $- 10$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 10 A = - 21$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 A}{- 10} = \frac{- 21}{- 10}$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 A}{- 10} = \frac{- 21}{- 10}$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 21}{- 10}$

$B = 8 - 3 A$

$A = \frac{- 21}{- 10}$

$B = 8 - 3 A$

$A = \frac{- 21}{- 10}$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$A = \frac{21}{10}$

$B = 8 - 3 A$

$A = \frac{21}{10}$

$B = 8 - 3 A$

$A = \frac{21}{10}$

$B = 8 - 3 A$

$A = \frac{21}{10}$

$B = 8 - 3 A$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{21}{10}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = 8 - 3 A$ por $\frac{21}{10}$ .

$B = 8 - 3 (\frac{21}{10})$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $8 - 3 (\frac{21}{10})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 3 (\frac{21}{10})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.1.1

Combine $- 3$ e $\frac{21}{10}$ .

$B = 8 + \frac{- 3 \cdot 21}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.1.1.2

Multiplique $- 3$ por $21$ .

$B = 8 + \frac{- 63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

$B = 8 + \frac{- 63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = 8 - \frac{63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

$B = 8 - \frac{63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.2

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$B = 8 \cdot \frac{10}{10} - \frac{63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine $8$ e $\frac{10}{10}$ .

$B = \frac{8 \cdot 10}{10} - \frac{63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{8 \cdot 10 - 63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.5.1

Multiplique $8$ por $10$ .

$B = \frac{80 - 63}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.4.2.1.5.2

Subtraia $63$ de $80$ .

$B = \frac{17}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

$B = \frac{17}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

$B = \frac{17}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

$B = \frac{17}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

$B = \frac{17}{10}$

$A = \frac{21}{10}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{17}{10}, A = \frac{21}{10}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{3 x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{21}{10}}{x + 3} + \frac{\frac{17}{10}}{3 x - 1}$