Pré-cálculo Exemplos

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x^{3} - x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x \cdot x^{2} - x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x (x^{2} - 1)}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Etapa 1.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{9 x^{2} - x - 18}{x (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(9 x^{2} - x - 18) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(9 x^{2} - x - 18) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(9 x^{2} - x - 18) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(9 x^{2} - x - 18) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(9 x^{2} - x - 18) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(9 x^{2} - x - 18) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.7.2

Divida $9 x^{2} - x - 18$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} - x - 18 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $A ((x + 1) (x - 1))$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.6

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.7.2

Divida $(B) (x (x - 1))$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.11

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.12

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.14

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.14.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 1.8.14.2

Divida $(C) (x (x + 1))$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Etapa 1.8.15

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Etapa 1.8.16

Multiplique $x$ por $x$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Etapa 1.8.17

Multiplique $x$ por $1$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Etapa 1.8.18

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Mova $B$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Etapa 1.9.2

Mova $- A$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Etapa 1.9.3

Mova $- x B$ .

$9 x^{2} - x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$9 = A + B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 18 = - 1 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 18 = - 1 A$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$- 18 = - 1 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 18 = - 1 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = - 18$ .

$- 1 A = - 18$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = - 18$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = - 18$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 18}{- 1}$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{- 18}{- 1}$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 18}{- 1}$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 18}{- 1}$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Divida $- 18$ por $- 1$ .

$A = 18$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 18$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 18$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

$A = 18$

$9 = A + B + C$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $18$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $9 = A + B + C$ por $18$ .

$9 = (18) + B + C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$9 = 18 + B + C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

$9 = 18 + B + C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

$9 = 18 + B + C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $9 = 18 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $18 + B + C = 9$ .

$18 + B + C = 9$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$B + C = 9 - 18$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 9 - 18 - C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.3.2.3

Subtraia $18$ de $9$ .

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = - 1 B + C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 9 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 1 = - 1 B + C$ por $- 9 - C$ .

$- 1 = - 1 (- 9 - C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 1 (- 9 - C) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = - 1 \cdot - 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- 1 = 9 - 1 (- C) + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 = 9 + 1 C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.4.2.1.1.3.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = 9 + C + C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $C$ e $C$ .

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$- 1 = 9 + 2 C$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5

Resolva $C$ em $- 1 = 9 + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $9 + 2 C = - 1$ .

$9 + 2 C = - 1$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$2 C = - 1 - 9$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $9$ de $- 1$ .

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$2 C = - 10$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $2 C = - 10$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $2 C = - 10$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$C = \frac{- 10}{2}$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Divida $- 10$ por $2$ .

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

$C = - 5$

$B = - 9 - C$

$A = 18$

Etapa 3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 5$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = - 9 - C$ por $- 5$ .

$B = - 9 - (- 5)$

$C = - 5$

$A = 18$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique $- 9 - (- 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$B = - 9 + 5$

$C = - 5$

$A = 18$

Etapa 3.6.2.1.2

Some $- 9$ e $5$ .

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 18$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 18$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 18$

$B = - 4$

$C = - 5$

$A = 18$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$B = - 4, C = - 5, A = 18$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{18}{x} + \frac{- 4}{x + 1} + \frac{- 5}{x - 1}$