Pré-cálculo Exemplos

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1$

Etapa 1

Defina $2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 u$ .

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva $- 3$ como $- 1$ mais $- 2$

$2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1 = 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1 = 0$

Etapa 2.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) - (2 u - 1) = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $2 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $2 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $2 \sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = 1$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 2.3.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 2.3.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 2.3.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.3.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 2.3.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.3.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 2.3.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 2.3.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.3.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.3.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) = 1$

Etapa 2.4.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.5

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 2.4.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.4.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.5.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 2.4.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3