Pré-cálculo Exemplos

$\frac{π}{8}$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Etapa 1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.5.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Etapa 2.4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.5

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.4.5.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Etapa 2.4.6

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.4.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Etapa 3

Estabeleça as coordenadas $(\cos (θ), \sin (θ))$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$