Pré-cálculo Exemplos

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 1.2.3.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.3

Divida $3$ por $- 1$ .

$d = - 3$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{5}{2} - - \frac{9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique $- - \frac{9}{2}$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{5}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $1$ .

$e = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 5 + 9}{2}$

Etapa 1.2.4.2.3

Some $- 5$ e $9$ .

$e = \frac{4}{2}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $4$ por $2$ .

$e = 2$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 2$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 2$

Etapa 3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Etapa 5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 5.3.3

Divida $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre o foco.

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Etapa 6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, \frac{3}{2})$

Etapa 7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 3$

Etapa 8