Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Etapa 1.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ e $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5

Encontre $| z |$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.4.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 5.4.3

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Etapa 5.6.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $25$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Etapa 5.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Etapa 5.7.4

Some $25$ e $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Etapa 5.7.5

Divida $100$ por $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Etapa 5.7.6

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 5$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Etapa 7

Como a tangente inversa de $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{5 π}{6}$ e $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$