Pré-cálculo Exemplos

${(4 + 4 i)}^{5}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $4^{4}$ por $4$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $4$ por $4^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.2.3

Some $1$ e $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.3

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $5$ por $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $10$ por $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $640 (16 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $640$ por $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.11

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $10$ por $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.13

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.14

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $- 64$ por $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.20

Multiplique $5$ por $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.21

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.22

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.23

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.23.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.23.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.23.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.24

Multiplique $20 (256 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Multiplique $256$ por $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.24.2

Multiplique $20$ por $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Etapa 2.1.25

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Etapa 2.1.26

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Etapa 2.1.27

Fatore $i^{4}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Etapa 2.1.28

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.28.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 2.1.28.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 2.1.28.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Etapa 2.1.29

Multiplique $i$ por $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $10240$ de $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Etapa 2.2.2

Some $- 9216$ e $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $10240 i$ de $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Etapa 2.2.4

Some $- 5120 i$ e $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 4096$ e $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $- 4096$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 4096$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Etapa 6.3

Some $16777216$ e $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Etapa 6.4

Reescreva $33554432$ como $4096^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $16777216$ de $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $16777216$ como $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{- 4096}{- 4096}$ produz um ângulo no terceiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{5 π}{4}$ e $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$