Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$ é indefinida.

$x = 5$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{4}$
	$x$	-	$5$		$x^{5}$	-	$3 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$17 x$	+	$12$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

Etapa 5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

Etapa 5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

Etapa 5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

Etapa 5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{4} - 10 x^{3}$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

Etapa 5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

Etapa 5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

Etapa 5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

Etapa 5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

Etapa 5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{3} + 15 x^{2}$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

Etapa 5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

Etapa 5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

Etapa 5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

Etapa 5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

Etapa 5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 15 x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

Etapa 5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

Etapa 5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

Etapa 5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

Etapa 5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

Etapa 5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x + 10$ .

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

Etapa 5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

$2$

Etapa 5.26

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 5}$

Etapa 5.27

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 5$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

Etapa 7