Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((a - 2) (a - 2)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(a - 2) (a - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (a (a - 2) - 2 (a - 2)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 (a - 2)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$\log_{3} (a^{2} + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 a - 2 a + 4) = 2$

Etapa 1.3.2

Subtraia $2 a$ de $- 2 a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

Etapa 3

Resolva $a$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 9$

Etapa 3.3

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$a^{2} - 4 a + 4 - 9 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $9$ de $4$ .

$a^{2} - 4 a - 5 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $a^{2} - 4 a - 5$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(a - 5) (a + 1) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$a - 5 = 0$

$a + 1 = 0$

Etapa 3.7

Defina $a - 5$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $a - 5$ como igual a $0$ .

$a - 5 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$a = 5$

Etapa 3.8

Defina $a + 1$ como igual a $0$ e resolva para $a$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $a + 1$ como igual a $0$ .

$a + 1 = 0$

Etapa 3.8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$a = - 1$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(a - 5) (a + 1) = 0$ verdadeiro.

$a = 5, - 1$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$ verdadeira.

$a = 5$