Pré-cálculo Exemplos

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = z^{2} + 8 z$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $z^{2} + 8 z$ .

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} + 23 u + 112$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $112$ e cuja soma é $23$ .

$7, 16$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 7) (u + 16) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $z^{2} + 8 z$ .

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Etapa 3

Defina $z^{2} + 8 z + 7$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 3.1

Defina $z^{2} + 8 z + 7$ como igual a $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ para $z$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $z^{2} + 8 z + 7$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $7$ e cuja soma é $8$ .

$1, 7$

Etapa 3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(z + 1) (z + 7) = 0$

Etapa 3.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

Etapa 3.2.3

Defina $z + 1$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 3.2.3.1

Defina $z + 1$ como igual a $0$ .

$z + 1 = 0$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$z = - 1$

Etapa 3.2.4

Defina $z + 7$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 3.2.4.1

Defina $z + 7$ como igual a $0$ .

$z + 7 = 0$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$z = - 7$

Etapa 3.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(z + 1) (z + 7) = 0$ verdadeiro.

$z = - 1, - 7$

Etapa 4

Defina $z^{2} + 8 z + 16$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 4.1

Defina $z^{2} + 8 z + 16$ como igual a $0$ .

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ para $z$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva o polinômio.

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = z$ e $b = 4$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina $z + 4$ como igual a $0$ .

$z + 4 = 0$

Etapa 4.2.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$z = - 4$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ verdadeiro.

$z = - 1, - 7, - 4$