Pré-cálculo Exemplos

$\sin (\cos^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Etapa 1

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\sin (\cos^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ , $(u, 0)$ e a origem. Então, $\cos^{-1} (u)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Portanto, $\sin (\cos^{-1} (u))$ é $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\sqrt{1 - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = u$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, v)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\tan^{-1} (v)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, v)$ . Portanto, $\cos (\tan^{-1} (v))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.2

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.3

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.6

Reescreva ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ como $1 + v^{2}$ .

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Etapa 2.1.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + v^{2}}$ como ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6.6.5

Simplifique.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.7

Multiplique $\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

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Etapa 2.1.7.1

Combine $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ e $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.7.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \sin (\tan^{-1} (v))$

Etapa 2.1.9

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, v)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\tan^{-1} (v)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, v)$ . Portanto, $\sin (\tan^{-1} (v))$ é $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Etapa 2.1.11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.11.1

Multiplique $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Etapa 2.1.11.2

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Etapa 2.1.11.3

Eleve $\sqrt{1 + v^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Etapa 2.1.11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.1.11.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Etapa 2.1.11.6

Reescreva ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ como $1 + v^{2}$ .

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Etapa 2.1.11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + v^{2}}$ como ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.1.11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.1.11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.1.11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Etapa 2.1.11.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Etapa 2.1.12

Combine $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ e $u$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})} - v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$