Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Etapa 1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Etapa 2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Etapa 3

Subtraia $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.3.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Etapa 4.1.3.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.1

Fatore $\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Etapa 5.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Etapa 5.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.3

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2.4

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.3.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 5.3.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 5.3.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 5.3.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 5.3.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 5.3.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 5.3.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.3.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 5.3.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.3.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.3.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.3.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.3.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.3.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.3.2.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.3.2.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 5.3.2.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.2.14.3

Combine frações.

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Etapa 5.3.2.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3.2.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.3.2.14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.3.2.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 5.3.2.14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.3.2.15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.4

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $\cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.6

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 5.4.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 5.4.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 5.4.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 5.4.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 5.4.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.4.2.11.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 5.4.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 5.4.2.13

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.15.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 5.4.2.15.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 5.4.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.4.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.4.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.4.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.4.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.4.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.4.2.17

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.5

Defina $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.5.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 5.5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 5.5.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 5.5.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.5.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.5.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.5.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.5.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.6.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 5.5.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.5.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.5.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

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Etapa 6.1

Consolide $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2

Consolide $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7