Pré-cálculo Exemplos

$z^{6} = i$

Etapa 1

Substitua $u$ por $z^{6}$ .

$u^{6} = i$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = 0$ e $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Etapa 5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 1$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Etapa 7

Como o argumento é indefinido e $b$ é positivo, o ângulo do ponto no plano complexo é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{2}$ e $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 9

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$u^{6} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10

Use o teorema de De Moivre para encontrar uma equação para $u$ .

$r^{6} (c o s (6 θ) + i s i n (6 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 11

Equacione o módulo da forma trigonométrica como $r^{6}$ para encontrar o valor de $r$ .

$r^{6} = 1$

Etapa 12

Resolva a equação para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[6]{1}$

Etapa 12.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$r = \pm 1$

Etapa 12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = 1$

Etapa 12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - 1$

Etapa 12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = 1, - 1$

Etapa 13

Encontre o valor aproximado de $r$ .

$r = 1$

Etapa 14

Encontre os valores possíveis de $θ$ .

$c o s (6 θ) = c o s (2 π n)$ e $s i n (6 θ) = s i n (2 π n)$

Etapa 15

Encontrar todos os valores possíveis de $θ$ leva à equação $6 θ = 2 π n$ .

$6 θ = 2 π n$

Etapa 16

Encontre o valor de $θ$ para $r = 0$ .

$6 θ = 2 π (0)$

Etapa 17

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Multiplique $2 π \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$6 θ = 0 π$

Etapa 17.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$6 θ = 0$

Etapa 17.2

Divida cada termo em $6 θ = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Divida cada termo em $6 θ = 0$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 17.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{0}{6}$

Etapa 17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$θ = 0$

Etapa 18

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{6} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Etapa 19

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Multiplique $\cos (0) + i \sin (0)$ por $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Etapa 19.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Etapa 19.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Etapa 19.2.3

Multiplique $i$ por $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Etapa 19.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{0} = 1$

Etapa 20

Substitua $z^{6}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{0} = 0 + 1$

Etapa 21

Encontre o valor de $θ$ para $r = 1$ .

$6 θ = 2 π (1)$

Etapa 22

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$6 θ = 2 π$

Etapa 22.2

Divida cada termo em $6 θ = 2 π$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Divida cada termo em $6 θ = 2 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Etapa 22.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Etapa 22.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{2 π}{6}$

Etapa 22.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{6}$

Etapa 22.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 22.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 22.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 23

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{6} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 24

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Multiplique $\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$ por $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 24.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 24.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 24.2.3

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 25

Substitua $z^{6}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 26

Encontre o valor de $θ$ para $r = 2$ .

$6 θ = 2 π (2)$

Etapa 27

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 θ = 4 π$

Etapa 27.2

Divida cada termo em $6 θ = 4 π$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1

Divida cada termo em $6 θ = 4 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Etapa 27.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Etapa 27.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{4 π}{6}$

Etapa 27.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{6}$

Etapa 27.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Etapa 27.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 27.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 28

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{6} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 29

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1

Multiplique $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ por $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 29.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 29.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 29.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 29.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 29.2.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 30

Substitua $z^{6}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 31

Encontre o valor de $θ$ para $r = 3$ .

$6 θ = 2 π (3)$

Etapa 32

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 θ = 6 π$

Etapa 32.2

Divida cada termo em $6 θ = 6 π$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.1

Divida cada termo em $6 θ = 6 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Etapa 32.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Etapa 32.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{6 π}{6}$

Etapa 32.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.3.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{6 π}{6}$

Etapa 32.2.3.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$θ = π$

Etapa 33

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{6} = i$ .

$u_{3} = 1 (\cos (π) + i \sin (π))$

Etapa 34

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1

Multiplique $\cos (π) + i \sin (π)$ por $1$ .

$u_{3} = \cos (π) + i \sin (π)$

Etapa 34.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{3} = - \cos (0) + i \sin (π)$

Etapa 34.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{3} = - 1 \cdot 1 + i \sin (π)$

Etapa 34.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{3} = - 1 + i \sin (π)$

Etapa 34.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{3} = - 1 + i \sin (0)$

Etapa 34.2.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{3} = - 1 + i \cdot 0$

Etapa 34.2.6

Multiplique $i$ por $0$ .

$u_{3} = - 1 + 0$

Etapa 34.3

Some $- 1$ e $0$ .

$u_{3} = - 1$

Etapa 35

Substitua $z^{6}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{3} = 0 - 1$

Etapa 36

Encontre o valor de $θ$ para $r = 4$ .

$6 θ = 2 π (4)$

Etapa 37

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$6 θ = 8 π$

Etapa 37.2

Divida cada termo em $6 θ = 8 π$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.2.1

Divida cada termo em $6 θ = 8 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Etapa 37.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Etapa 37.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{8 π}{6}$

Etapa 37.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.2.3.1

Cancele o fator comum de $8$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.2.3.1.1

Fatore $2$ de $8 π$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{6}$

Etapa 37.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 37.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Etapa 37.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 37.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 38

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{6} = i$ .

$u_{4} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Etapa 39

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 39.1

Multiplique $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ por $1$ .

$u_{4} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 39.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 39.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{4} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 39.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 39.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 39.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 39.2.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 40

Substitua $z^{6}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{4} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 41

Encontre o valor de $θ$ para $r = 5$ .

$6 θ = 2 π (5)$

Etapa 42

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$6 θ = 10 π$

Etapa 42.2

Divida cada termo em $6 θ = 10 π$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.2.1

Divida cada termo em $6 θ = 10 π$ por $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Etapa 42.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Etapa 42.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{10 π}{6}$

Etapa 42.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.2.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.2.3.1.1

Fatore $2$ de $10 π$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{6}$

Etapa 42.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 42.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Etapa 42.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 42.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 43

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{6} = i$ .

$u_{5} = 1 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Etapa 44

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 44.1

Multiplique $\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$ por $1$ .

$u_{5} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 44.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 44.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{5} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 44.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 44.2.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 44.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 44.2.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 45

Substitua $z^{6}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{5} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 46

Essas são as soluções complexas para $u^{6} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{3} = - 1$

$z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$