Pré-cálculo Exemplos

$\cos (\tan^{-1} (u) - \cos^{-1} (v))$

Etapa 1

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\tan^{-1} (u)) \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, u)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\tan^{-1} (u)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, u)$ . Portanto, $\cos (\tan^{-1} (u))$ é $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ como $1 + u^{2}$ .

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Etapa 2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + u^{2}}$ como ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.3.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.4

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.5

Combine $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ e $v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.6

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, u)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\tan^{-1} (u)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, u)$ . Portanto, $\sin (\tan^{-1} (u))$ é $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.7

Multiplique $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.8.1

Multiplique $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.2

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.3

Eleve $\sqrt{1 + u^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.6

Reescreva ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ como $1 + u^{2}$ .

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Etapa 2.1.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + u^{2}}$ como ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.8.6.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

Etapa 2.1.9

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ , $(v, 0)$ e a origem. Então, $\cos^{-1} (v)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ . Portanto, $\sin (\cos^{-1} (v))$ é $\sqrt{1 - v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}}$

Etapa 2.1.10

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}}$

Etapa 2.1.11

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = v$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

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Etapa 2.1.12.1

Combine $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ e $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ .

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}}$

Etapa 2.1.12.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v + u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$