Pré-cálculo Exemplos

$\frac{(x^{2} - 9 x)}{x - 5} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 9 x = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2

Fatore $x$ de $x^{2} - 9 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 9 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $- 9 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 9 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 9$ .

$x (x - 9) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 9$

Etapa 7

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0, 9$

$x = 5$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, 9, 5$

Etapa 10

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 5 = 0$

Etapa 10.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 9$

$x > 9$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2}{(- 2) - 5} < 0$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $- 3.\overline{142857}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{{(2)}^{2} - 9 \cdot 2}{(2) - 5} < 0$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $4.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $5 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $5 < x < 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

$\frac{{(7)}^{2} - 9 \cdot 7}{(7) - 5} < 0$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 7$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$\frac{{(12)}^{2} - 9 \cdot 12}{(12) - 5} < 0$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $5.\overline{142857}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$5 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 5$ Falso

$5 < x < 9$ Verdadeiro

$x > 9$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $5 < x < 9$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, 0) \cup (5, 9)$

Etapa 15