Pré-cálculo Exemplos

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

Etapa 1

Subtraia $247$ dos dois lados da equação.

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

Etapa 2

Divida os dois lados da equação por $16$ .

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Etapa 3

Complete o quadrado de $x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Etapa 3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Etapa 3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 4

Substitua ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ por $x^{2} + 5 x$ na equação $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

Etapa 5

Mova $- \frac{25}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{25}{4}$ aos dois lados.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Etapa 6

Complete o quadrado de $y^{2} - 7 y$ .

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Etapa 6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

Etapa 6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

Etapa 6.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{7}{2}$

Etapa 6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $\frac{49}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

Etapa 6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ .

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Etapa 7

Substitua ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ por $y^{2} - 7 y$ na equação $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

Etapa 8

Mova $- \frac{49}{4}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{49}{4}$ aos dois lados.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

Etapa 9

Simplifique $- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ .

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Etapa 9.1

Combine frações.

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Etapa 9.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

Etapa 9.1.2

Some $25$ e $49$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum de $74$ e $4$ .

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Etapa 9.2.2.1

Fatore $2$ de $74$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

Etapa 9.3

Para escrever $\frac{37}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 9.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.4.1

Multiplique $\frac{37}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $2$ por $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

Etapa 9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

Etapa 9.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.6.1

Multiplique $37$ por $8$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

Etapa 9.6.2

Some $- 247$ e $296$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

Etapa 10

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 11

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

Etapa 12

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Etapa 13

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

Raio: $\frac{7}{4}$

Etapa 14