Pré-cálculo Exemplos

$n (t) = \frac{1}{t} + \frac{3}{t^{2}} + \frac{2}{t^{3}} + 4$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{t} + \frac{3}{t^{2}} + \frac{2}{t^{3}} + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{3}{t^{2}}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$- t^{- 2} + 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{t^{2}}$ como ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} + 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- t^{- 2} + 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} + 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- t^{- 2} + 3 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.7

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 3.10

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}]$ .

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{2}{t^{3}}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{t^{3}}$ como ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{3}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t^{3}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t^{3}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.5

Multiplique os expoentes em ${(t^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.7

Multiplique $t^{- 6}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1

Mova $t^{2}$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 4.8

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [4]$

Etapa 5

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + 0$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + 0$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 \frac{1}{t^{3}} - 6 t^{- 4} + 0$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 \frac{1}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

Etapa 6.4

Combine os termos.

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Etapa 6.4.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 6}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

Etapa 6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

Etapa 6.4.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{t^{4}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} + \frac{- 6}{t^{4}} + 0$

Etapa 6.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}} + 0$

Etapa 6.4.5

Some $- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}}$