Pré-cálculo Exemplos

$(\frac{102 - 3 q^{2}}{q + 2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ é $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , em que $f (q) = 102 - 3 q^{2}$ e $g (q) = q + 2$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [102 - 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $102 - 3 q^{2}$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $102$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $102$ em relação a $q$ é $0$ .

$\frac{(q + 2) (0 + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $- 3 q^{2}$ em relação a $q$ é $- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 (2 q)) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $q + 2$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2]$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $2$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $2$ em relação a $q$ é $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + 0)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \cdot 1}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 6 q \cdot q + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $q$ por $q$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $q$ .

$\frac{- 6 (q \cdot q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $q$ por $q$ .

$\frac{- 6 q^{2} + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $102$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 + 3 q^{2}}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Some $- 6 q^{2}$ e $3 q^{2}$ .

$\frac{- 3 q^{2} - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $3$ de $- 3 q^{2} - 12 q - 102$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $- 3 q^{2}$ .

$\frac{3 (- q^{2}) - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $3$ de $- 12 q$ .

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Fatore $3$ de $- 102$ .

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Fatore $3$ de $3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q)$ .

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.4.5

Fatore $3$ de $3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)$ .

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- q^{2}$ .

$\frac{3 (- (q^{2}) - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- 4 q$ .

$\frac{3 (- (q^{2}) - (4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- (q^{2}) - (4 q)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $- 34$ como $- 1 (34)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 1 (34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (q^{2} + 4 q) - 1 (34)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.10

Reescreva $- (q^{2} + 4 q + 34)$ como $- 1 (q^{2} + 4 q + 34)$ .

$\frac{3 (- 1 (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (q^{2} + 4 q + 34)}{{(q + 2)}^{2}}$