Pré-cálculo Exemplos

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Etapa 2

Simplifique $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

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Etapa 2.1

Combine em uma fração.

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Etapa 2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Etapa 2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Etapa 2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Some $3$ e $4$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Etapa 2.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Etapa 2.2.3.4

Subtraia $4$ de $3$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Etapa 2.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Etapa 2.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Etapa 2.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Simplifique $- 16 (- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16})$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}$ para o numerador.

$- 16 \frac{- {(y - 2)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4.1.1.1.2

Fatore $16$ de $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 2)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 2)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - {(y - 2)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique.

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Etapa 4.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(y - 2)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4.1.1.2.2

Multiplique ${(y - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(y - 2)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

${(y - 2)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Etapa 4.2.1.2

Combine $16$ e $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 2)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 2)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Etapa 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 2 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Etapa 6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ como ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore a potência perfeita ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Etapa 6.1.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.1.3

Reorganize a fração $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Etapa 6.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y - 2 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Etapa 6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y - 2 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Etapa 6.4

Combine $\frac{4}{3}$ e $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 2 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 2 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Etapa 7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

Etapa 7.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 2 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Etapa 7.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

Etapa 7.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

Etapa 8

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 9.2

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 9.2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 9.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 9.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 7, - 1$

Etapa 9.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Etapa 9.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 9.6.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Etapa 9.6.1.3

O lado esquerdo $27$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.6.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 9.6.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Etapa 9.6.2.3

O lado esquerdo $- 9$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.6.3

Teste um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.6.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Etapa 9.6.3.3

O lado esquerdo $7$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

Etapa 9.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 7$ ou $x \geq - 1$

Etapa 10

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Etapa 11

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Etapa 12

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Intervalo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Etapa 13