Pré-cálculo Exemplos

${(3 + 3 i)}^{7}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$3^{7} + 7 \cdot 3^{6} (3 i) + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$2187 + 7 \cdot 3^{6} (3 i) + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $3^{6}$ por $3$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova $3$ .

$2187 + 7 \cdot (3 \cdot 3^{6}) i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $3$ por $3^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$2187 + 7 \cdot (3^{1} \cdot 3^{6}) i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2187 + 7 \cdot 3^{1 + 6} i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2.3

Some $1$ e $6$ .

$2187 + 7 \cdot 3^{7} i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.3

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$2187 + 7 \cdot 2187 i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $7$ por $2187$ .

$2187 + 15309 i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.5

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$2187 + 15309 i + 21 \cdot 243 {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $21$ por $243$ .

$2187 + 15309 i + 5103 {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$2187 + 15309 i + 5103 (3^{2} i^{2}) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2187 + 15309 i + 5103 (9 i^{2}) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i + 5103 (9 \cdot - 1) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $5103 (9 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$2187 + 15309 i + 5103 \cdot - 9 + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $5103$ por $- 9$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.11

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 35 \cdot 81 {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $35$ por $81$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.13

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (3^{3} i^{3}) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.14

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 i^{3}) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (- i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (- 27 i) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $- 27$ por $2835$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.20

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 35 \cdot 27 {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.21

Multiplique $35$ por $27$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.22

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (3^{4} i^{4}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.23

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 i^{4}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.24

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.24.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.24.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 \cdot 1) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.25

Multiplique $945 (81 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.25.1

Multiplique $81$ por $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 \cdot 81 + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.25.2

Multiplique $945$ por $81$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.26

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 21 \cdot 9 {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.27

Multiplique $21$ por $9$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.28

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (3^{5} i^{5}) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.29

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 i^{5}) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.30

Fatore $i^{4}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 (i^{4} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.31

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.31.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.31.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.31.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 (1 i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.32

Multiplique $i$ por $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 i) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.33

Multiplique $243$ por $189$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.34

Multiplique $7$ por $3$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.35

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (3^{6} i^{6}) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.36

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 i^{6}) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.37

Fatore $i^{4}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 (i^{4} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.38

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.38.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.38.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.38.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 (1 i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.39

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 i^{2}) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.40

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 \cdot - 1) + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.41

Multiplique $21 (729 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.41.1

Multiplique $729$ por $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 \cdot - 729 + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.41.2

Multiplique $21$ por $- 729$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + {(3 i)}^{7}$

Etapa 2.1.42

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 3^{7} i^{7}$

Etapa 2.1.43

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 i^{7}$

Etapa 2.1.44

Reescreva $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.44.1

Fatore $i^{4}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{4} i^{3})$

Etapa 2.1.44.2

Fatore $i^{2}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.45

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.45.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.45.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.45.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (1 (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.46

Multiplique $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{2} \cdot i)$

Etapa 2.1.47

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (- 1 \cdot i)$

Etapa 2.1.48

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (- i)$

Etapa 2.1.49

Multiplique $- 1$ por $2187$ .

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 - 2187 i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $45927$ de $2187$ .

$- 43740 + 15309 i - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 - 2187 i$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $- 43740$ e $76545$ .

$32805 + 15309 i - 76545 i + 45927 i - 15309 - 2187 i$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $15309$ de $32805$ .

$17496 + 15309 i - 76545 i + 45927 i - 2187 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $76545 i$ de $15309 i$ .

$17496 - 61236 i + 45927 i - 2187 i$

Etapa 2.2.4

Some $- 61236 i$ e $45927 i$ .

$17496 - 15309 i - 2187 i$

Etapa 2.2.5

Subtraia $2187 i$ de $- 15309 i$ .

$17496 - 17496 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = 17496$ e $b = - 17496$ .

$| z | = \sqrt{{(- 17496)}^{2} + 17496^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $- 17496$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{306110016 + 17496^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $17496$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{306110016 + 306110016}$

Etapa 6.3

Some $306110016$ e $306110016$ .

$| z | = \sqrt{612220032}$

Etapa 6.4

Reescreva $612220032$ como $17496^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $306110016$ de $612220032$ .

$| z | = \sqrt{306110016 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $306110016$ como $17496^{2}$ .

$| z | = \sqrt{17496^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 17496 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 17496}{17496})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{- 17496}{17496}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{4}$ e $| z | = 17496 \sqrt{2}$ .

$17496 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$