Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{25}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y^{2}}{144} = 1 - \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $- 144$ .

$- 144 (- \frac{y^{2}}{144}) = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique $- 144 (- \frac{y^{2}}{144})$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum de $144$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{2}}{144}$ para o numerador.

$- 144 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.1.1.1.2

Fatore $144$ de $- 144$ .

$144 (- 1) \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$144 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{144} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique.

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Etapa 3.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.1.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $- 144 (1 - \frac{x^{2}}{25})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = - 144 \cdot 1 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 144$ por $1$ .

$y^{2} = - 144 - 144 (- \frac{x^{2}}{25})$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 144 (- \frac{x^{2}}{25})$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 144$ .

$y^{2} = - 144 + 144 \frac{x^{2}}{25}$

Etapa 3.2.1.3.2

Combine $144$ e $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = - 144 + \frac{144 x^{2}}{25}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{- 144 + \frac{144 x^{2}}{25}}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $144 x^{2}$ como ${(12 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{25}}$

Etapa 5.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + \frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}}$

Etapa 5.3

Reescreva $\frac{{(12 x)}^{2}}{5^{2}}$ como ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 144 + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 12^{2} + {(\frac{12 x}{5})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Reordene $- 12^{2}$ e ${(\frac{12 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12 x}{5})}^{2} - 12^{2}}$

Etapa 5.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{12 x}{5}$ e $b = 12$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{12 x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Fatore $12$ de $\frac{12 x}{5} + 12$ .

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Etapa 5.6.1.1

Fatore $12$ de $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Etapa 5.6.1.2

Fatore $12$ de $12$ .

$y = \pm \sqrt{(12 \frac{x}{5} + 12 (1)) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Etapa 5.6.1.3

Fatore $12$ de $12 \frac{x}{5} + 12 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{12 x}{5} - 12)}$

Etapa 5.6.2

Fatore $12$ de $\frac{12 x}{5} - 12$ .

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Etapa 5.6.2.1

Fatore $12$ de $\frac{12 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} - 12)}$

Etapa 5.6.2.2

Fatore $12$ de $- 12$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 \frac{x}{5} + 12 (- 1))}$

Etapa 5.6.2.3

Fatore $12$ de $12 \frac{x}{5} + 12 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) (12 (\frac{x}{5} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{12 (\frac{x}{5} + 1) \cdot 12 (\frac{x}{5} - 1)}$

Etapa 5.6.3

Multiplique $12$ por $12$ .

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}$

Etapa 5.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \pm \sqrt{144 (\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}$

Etapa 5.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}$

Etapa 5.10

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}$

Etapa 5.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

Etapa 5.12

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{144 \frac{x + 5}{5} \frac{x - 5}{5}}$

Etapa 5.13

Combine expoentes.

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Etapa 5.13.1

Combine $144$ e $\frac{x + 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5)}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}$

Etapa 5.13.2

Multiplique $\frac{144 (x + 5)}{5}$ por $\frac{x - 5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}$

Etapa 5.13.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}}$

Etapa 5.14

Reescreva $\frac{144 (x + 5) (x - 5)}{25}$ como ${(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Etapa 5.14.1

Fatore a potência perfeita $12^{2}$ de $144 (x + 5) (x - 5)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}$

Etapa 5.14.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.14.3

Reorganize a fração $\frac{12^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{12}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}$

Etapa 5.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{12}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$

Etapa 5.16

Combine $\frac{12}{5}$ e $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$y = \pm \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

$y = - \frac{12 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 5) (x - 5) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 8.2

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 8.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 8.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x - 5) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$((- 8) + 5) ((- 8) - 5) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $39$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 5) ((0) - 5) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $- 25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$((8) + 5) ((8) - 5) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $39$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 5$ ou $x \geq 5$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 5] \cup [5, \infty), {x | x \leq - 5, x \geq 5}$

Intervalo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Etapa 12