Pré-cálculo Exemplos

$1 + \tan^{2} (- θ) = \sec^{2} (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$1 + \tan^{2} (- θ)$

Etapa 2

Como $\tan (- θ)$ é uma função ímpar, reescreva $\tan (- θ)$ como $- \tan (θ)$ .

$1 + {(- \tan (θ))}^{2}$

Etapa 3

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 3.1

Escreva $\tan (θ)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$1 + {(- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 1 \frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$ por $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ como $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$1 + \tan^{2} (- θ) = \sec^{2} (θ)$ é uma identidade