Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 30 x - 4 y + 95 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$30 x - 4 y + 95 = - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $30 x$ dos dois lados da equação.

$- 4 y + 95 = - 3 x^{2} - 30 x$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $95$ dos dois lados da equação.

$- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 y = - 3 x^{2} - 30 x - 95$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 3 x^{2}}{- 4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 30 x}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 30$ e $- 4$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 30 x$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 4} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- 2 (15 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{- 95}{- 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{95}{4}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{2} + \frac{95}{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{3}{4}$

$b = \frac{15}{2}$

$c = \frac{95}{4}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{15}{2}}{2 (\frac{3}{4})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{3}{4})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{3}{4}$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 1.2.3.2.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3)}{4}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Etapa 1.2.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{15}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Etapa 1.2.3.2.6

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$d = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.3.2.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.3.2.7.1

Fatore $3$ de $15$ .

$d = \frac{3 (5)}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.3.2.7.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3 \cdot 5}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.3.2.7.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{2} \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.8.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{5}{2} \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2.8.2

Reescreva a expressão.

$d = 5$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{{(\frac{15}{2})}^{2}}{4 (\frac{3}{4})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{15^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{3}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{2^{2}}}{4 (\frac{3}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{4 (\frac{3}{4})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{\frac{12}{4}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Divida $12$ por $4$ .

$e = \frac{95}{4} - \frac{\frac{225}{4}}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{225}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $225$ .

$e = \frac{95}{4} - (\frac{3 (75)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{95}{4} - (\frac{3 \cdot 75}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{95}{4} - \frac{75}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{95 - 75}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Subtraia $75$ de $95$ .

$e = \frac{20}{4}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $20$ por $4$ .

$e = 5$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{3}{4} {(x + 5)}^{2} + 5$ .

$\frac{3}{4} {(x + 5)}^{2} + 5$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{3}{4} \cdot {(x + 5)}^{2} + 5$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{3}{4}$

$h = - 5$

$k = 5$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 5)$

Etapa 4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{3}{4}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Combine $4$ e $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{4}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{1}{\frac{12}{4}}$

Etapa 4.3.2.2

Divida $12$ por $4$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 5

Encontre a diretriz.

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Etapa 5.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{14}{3}$

Etapa 6