Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} + 4 x + 6 y - 2 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x + 6 y - 2 = - x^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$6 y - 2 = - x^{2} - 4 x$

Etapa 1.1.1.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$6 y = - x^{2} - 4 x + 2$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $6 y = - x^{2} - 4 x + 2$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y}{6} = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 4 x}{6} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{6} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 (3)} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- 2 x)}{2 \cdot 3} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 (1)}{6}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{6} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{6}}$ .

$d = \frac{1}{3 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.3.2.5

Combine $3$ e $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{1}{\frac{3}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.6.1

Fatore $3$ de $3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (1)}{6}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

Etapa 1.2.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Etapa 1.2.4.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

Etapa 1.2.4.2.1.6.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.4.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Etapa 1.2.4.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

Etapa 1.2.4.2.1.7

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{- 2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = \frac{1}{3} - - \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.1.10

Multiplique $- - \frac{2}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{1}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

Etapa 1.2.4.2.1.10.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{1 + 2}{3}$

Etapa 1.2.4.2.3

Some $1$ e $2$ .

$e = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.4.2.4

Divida $3$ por $3$ .

$e = 1$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} + 1$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{6} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = - 2$

$k = 1$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Etapa 4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Etapa 4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Etapa 4.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 5

Encontre a diretriz.

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Etapa 5.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 6