Pré-cálculo Exemplos

${(2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Etapa 1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

${(2 (- \cos (60) + i \sin (240 °)))}^{4}$

Etapa 1.1.2

O valor exato de $\cos (60)$ é $\frac{1}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240 °)))}^{4}$

Etapa 1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))))}^{4}$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\sin (60)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})))}^{4}$

Etapa 1.1.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Etapa 1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum.

${(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva a expressão.

${(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

${(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

${(- 1 - i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(- 1)}^{4} + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{3} (- i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.2

Multiplique ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Mova $- 1$ .

$1 + 4 (- {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$1 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3}) (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 4 {(- 1)}^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.2.3

Some $1$ e $3$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$1 + 4 (i \sqrt{3}) + 6 {(- 1)}^{2} {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 {(- i \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.7.2

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.9

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.10

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.11

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.1.11.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.11.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.11.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.11.4.1

Cancele o fator comum.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{\frac{2}{2}}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.11.4.2

Reescreva a expressão.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 3^{1}) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.11.5

Avalie o expoente.

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 (- 1 \cdot 3) + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.12

Multiplique $6 (- 1 \cdot 3)$ .

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Etapa 3.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.12.2

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 + 4 \cdot - 1 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 {(- i \sqrt{3})}^{3} + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.14

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.14.1

Aplique a regra do produto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.14.2

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 ({(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- i^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.16

Fatore $i^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.17

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.18

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (- - i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (1 i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.20

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i {\sqrt{3}}^{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.21

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{3}}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.22

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{27}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.23

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 3.1.23.1

Fatore $9$ de $27$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{9 (3)}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.23.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.24

Elimine os termos abaixo do radical.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (i (3 \sqrt{3})) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.25

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 4 (3 \cdot i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.26

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 (i \sqrt{3}) + {(- i \sqrt{3})}^{4}$

Etapa 3.1.27

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.27.1

Aplique a regra do produto a $- i \sqrt{3}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- i)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.27.2

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.28

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.29

Multiplique $i^{4}$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + i^{4} {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.30

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.30.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.30.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.30.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.31

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}$

Etapa 3.1.32

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.32.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Etapa 3.1.32.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Etapa 3.1.32.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}$

Etapa 3.1.32.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.32.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.1.32.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.32.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Etapa 3.1.32.4.2.2

Cancele o fator comum.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Etapa 3.1.32.4.2.3

Reescreva a expressão.

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}$

Etapa 3.1.32.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 3^{2}$

Etapa 3.1.33

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$1 + 4 i \sqrt{3} - 18 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Etapa 3.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $18$ de $1$ .

$4 i \sqrt{3} - 17 - 12 i \sqrt{3} + 9$

Etapa 3.2.2

Subtraia $12 i \sqrt{3}$ de $4 i \sqrt{3}$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 17 + 9$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Some $- 17$ e $9$ .

$- 8 i \sqrt{3} - 8$

Etapa 3.2.3.2

Reordene $- 8 i \sqrt{3}$ e $- 8$ .

$- 8 - 8 i \sqrt{3}$