Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 x - 30 y + 74 = 0$

Etapa 1

Subtraia $74$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 x - 30 y = - 74$

Etapa 2

Divida os dois lados da equação por $3$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y = - \frac{74}{3}$

Etapa 3

Complete o quadrado de $x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 3.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Etapa 4

Substitua ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ na equação $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y = - \frac{74}{3}$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 10 y = - \frac{74}{3}$

Etapa 5

Mova $- 1$ para o lado direito da equação, somando $1$ aos dois lados.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - 10 y = - \frac{74}{3} + 1$

Etapa 6

Complete o quadrado de $y^{2} - 10 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Etapa 6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum de $- 10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)}$

Etapa 6.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 5}{1}$

Etapa 6.3.2.2.4

Divida $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Etapa 6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Etapa 6.4.2.1.3

Divida $100$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Etapa 6.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$e = 0 - 25$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Etapa 6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - 5)}^{2} - 25$ .

${(y - 5)}^{2} - 25$

Etapa 7

Substitua ${(y - 5)}^{2} - 25$ por $y^{2} - 10 y$ na equação $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y = - \frac{74}{3}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} - 25 = - \frac{74}{3} + 1$

Etapa 8

Mova $- 25$ para o lado direito da equação, somando $25$ aos dois lados.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + 1 + 25$

Etapa 9

Simplifique $- \frac{74}{3} + 1 + 25$ .

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Etapa 9.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 9.1.1

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + \frac{1}{1} + 25$

Etapa 9.1.2

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 25$

Etapa 9.1.3

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + \frac{3}{3} + 25$

Etapa 9.1.4

Escreva $25$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + \frac{3}{3} + \frac{25}{1}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $\frac{25}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + \frac{3}{3} + \frac{25}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $\frac{25}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = - \frac{74}{3} + \frac{3}{3} + \frac{25 \cdot 3}{3}$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = \frac{- 74 + 3 + 25 \cdot 3}{3}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $25$ por $3$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = \frac{- 74 + 3 + 75}{3}$

Etapa 9.3.2

Some $- 74$ e $3$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = \frac{- 71 + 75}{3}$

Etapa 9.3.3

Some $- 71$ e $75$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = \frac{4}{3}$