Pré-cálculo Exemplos

${(s + 2 v)}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(s + 2 v)}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $s$ e $b$ $2 v$ na expressão.

$1 {(s)}^{5} {(2 v)}^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(s)}^{5}$ por $1$ .

${(s)}^{5} {(2 v)}^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $2 v$ .

$s^{5} (2^{0} v^{0}) + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2^{0} s^{5} v^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 s^{5} v^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.5

Multiplique $s^{5}$ por $1$ .

$s^{5} v^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$s^{5} \cdot 1 + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.7

Multiplique $s^{5}$ por $1$ .

$s^{5} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.8

Simplifique.

$s^{5} + 5 s^{4} (2 v) + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$s^{5} + 5 \cdot 2 s^{4} v + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.10

Multiplique $5$ por $2$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.11

Aplique a regra do produto a $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 s^{3} (2^{2} v^{2}) + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 \cdot 2^{2} s^{3} v^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 \cdot 4 s^{3} v^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.14

Multiplique $10$ por $4$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.15

Aplique a regra do produto a $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 s^{2} (2^{3} v^{3}) + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 \cdot 2^{3} s^{2} v^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.17

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 \cdot 8 s^{2} v^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.18

Multiplique $10$ por $8$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.19

Simplifique.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 s {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.20

Aplique a regra do produto a $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 s (2^{4} v^{4}) + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.21

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 \cdot 2^{4} s v^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.22

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 \cdot 16 s v^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.23

Multiplique $5$ por $16$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.24

Multiplique ${(s)}^{0}$ por $1$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.25

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 1 {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.26

Multiplique ${(2 v)}^{5}$ por $1$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + {(2 v)}^{5}$

Etapa 4.27

Aplique a regra do produto a $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 2^{5} v^{5}$

Etapa 4.28

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 32 v^{5}$