Pré-cálculo Exemplos

$\ln (5 x + 1)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \ln (5 y + 1)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\ln (5 y + 1) = x$ .

$\ln (5 y + 1) = x$

Etapa 2.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (5 y + 1)} = e^{x}$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (5 y + 1) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 5 y + 1$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva a equação como $5 y + 1 = e^{x}$ .

$5 y + 1 = e^{x}$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$5 y = e^{x} - 1$

Etapa 2.4.3

Divida cada termo em $5 y = e^{x} - 1$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.4.3.1

Divida cada termo em $5 y = e^{x} - 1$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 2.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 2.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ é o inverso de $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln (5 x + 1))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)}}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{e^{\ln (5 x + 1)} - 1}{5}$

Etapa 4.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 1 - 1}{5}$

Etapa 4.2.5

Combine os termos opostos em $5 x + 1 - 1$ .

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Etapa 4.2.5.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x + 0}{5}$

Etapa 4.2.5.2

Some $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 4.2.6

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 4.2.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (5 x + 1)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) + 1)$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Etapa 4.3.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (5 (\frac{e^{x}}{5}) + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Etapa 4.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (- \frac{1}{5}) + 1)$

Etapa 4.3.3.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5}$ para o numerador.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Etapa 4.3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 5 (\frac{- 1}{5}) + 1)$

Etapa 4.3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} - 1 + 1)$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $e^{x} - 1 + 1$ .

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Etapa 4.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x} + 0)$

Etapa 4.3.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = \ln (e^{x})$

Etapa 4.3.5

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \ln (e)$

Etapa 4.3.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$ é o inverso de $f (x) = \ln (5 x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{5} - \frac{1}{5}$