Pré-cálculo Exemplos

$5 x^{3} - 14 x^{2} \leq 24 x$

Etapa 1

Subtraia $24 x$ dos dois lados da desigualdade.

$5 x^{3} - 14 x^{2} - 24 x \leq 0$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$5 x^{3} - 14 x^{2} - 24 x = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $5 x^{3} - 14 x^{2} - 24 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $5 x^{3}$ .

$x (5 x^{2}) - 14 x^{2} - 24 x = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $- 14 x^{2}$ .

$x (5 x^{2}) + x (- 14 x) - 24 x = 0$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $- 24 x$ .

$x (5 x^{2}) + x (- 14 x) + x \cdot - 24 = 0$

Etapa 3.1.4

Fatore $x$ de $x (5 x^{2}) + x (- 14 x)$ .

$x (5 x^{2} - 14 x) + x \cdot - 24 = 0$

Etapa 3.1.5

Fatore $x$ de $x (5 x^{2} - 14 x) + x \cdot - 24$ .

$x (5 x^{2} - 14 x - 24) = 0$

Etapa 3.2

Fatore.

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Etapa 3.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 24 = - 120$ e cuja soma é $b = - 14$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Fatore $- 14$ de $- 14 x$ .

$x (5 x^{2} - 14 x - 24) = 0$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva $- 14$ como $6$ mais $- 20$

$x (5 x^{2} + (6 - 20) x - 24) = 0$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (5 x^{2} + 6 x - 20 x - 24) = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x ((5 x^{2} + 6 x) - 20 x - 24) = 0$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x (5 x + 6) - 4 (5 x + 6)) = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x + 6$ .

$x ((5 x + 6) (x - 4)) = 0$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (5 x + 6) (x - 4) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$5 x + 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Defina $5 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $5 x + 6$ como igual a $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $5 x + 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 6$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 6$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{6}{5}$

Etapa 7

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $x (5 x + 6) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{6}{5}, 4$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{6}{5}$

$- \frac{6}{5} < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{6}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{6}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$5 {(- 4)}^{3} - 14 {(- 4)}^{2} \leq 24 (- 4)$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $- 544$ é menor do que o lado direito $- 96$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{6}{5} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{6}{5} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$5 {(- 1)}^{3} - 14 {(- 1)}^{2} \leq 24 (- 1)$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 19$ é maior do que o lado direito $- 24$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$5 {(2)}^{3} - 14 {(2)}^{2} \leq 24 (2)$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $48$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 10.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 10.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$5 {(6)}^{3} - 14 {(6)}^{2} \leq 24 (6)$

Etapa 10.4.3

O lado esquerdo $576$ é maior do que o lado direito $144$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{6}{5}$ Verdadeiro

$- \frac{6}{5} < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - \frac{6}{5}$ Verdadeiro

$- \frac{6}{5} < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{6}{5}$ ou $0 \leq x \leq 4$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - \frac{6}{5}] \cup [0, 4]$

Etapa 13