Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4} > 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 7

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Etapa 7.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 7.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 7.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 9

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 3, - 4$

$x = 2$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$x = 3, - 4, 2$

Etapa 12

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

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Etapa 12.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + x - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x$ .

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Etapa 12.2.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 12.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Etapa 12.2.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 12.2.1.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 12.2.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 12.2.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 12.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot - 6 + 4} > 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $0.28125$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4} > 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 3$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(2.5)}^{2} + 2.5 - 12}{{(2.5)}^{2} - 4 \cdot 2.5 + 4} > 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $- 13$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 4} > 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $1.875$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 14.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 4$ Verdadeiro

$- 4 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 4$ ou $x > 3$

Etapa 16

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Etapa 17