Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

Etapa 1

Calcule a regra de três.

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Etapa 1.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Multiplique $0$ por $x + 1$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Simplifique $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2

Reescreva de forma que $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 3

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ como ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3.2

Some $- x$ e $x$ .

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.1.4

Simplifique.

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} - 1 \leq 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} \leq 1$

Etapa 5.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

Etapa 5.3

Simplifique a equação.

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Etapa 5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| x | \leq 1$

Etapa 5.4

Escreva $| x | \leq 1$ em partes.

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Etapa 5.4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 5.4.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 1$

Etapa 5.4.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 5.4.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 1$

Etapa 5.4.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 5.5

Encontre a intersecção de $x \leq 1$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 1$

Etapa 5.6

Resolva $- x \leq 1$ quando $x < 0$ .

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $- x \leq 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.6.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.6.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.6.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.1.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x \geq - 1$

Etapa 5.6.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 1$ e $x < 0$ .

$- 1 \leq x < 0$

Etapa 5.7

Encontre a união das soluções.

$- 1 \leq x \leq 1$

Etapa 6

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 1, 1]$

Etapa 7