Pré-cálculo Exemplos

$x = y^{2} - 4 y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y^{2} - 4 y = x$ .

$y^{2} - 4 y = x$

Etapa 2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - 4 y - x = 0$

Etapa 3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Reescreva $- 4 (- 4 - x)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

Etapa 9

Alterne as variáveis. Crie uma equação para cada expressão.

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

Etapa 10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva a equação como $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ .

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

Etapa 10.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ como ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 1 (- y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.5

Simplifique.

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1

Simplifique ${(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

Etapa 10.4.3.1.2

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Etapa 10.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Etapa 10.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 10.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 10.4.3.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 10.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Etapa 10.4.3.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

Etapa 10.5

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

Etapa 10.5.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = x^{2} - 4 x + 0$

Etapa 10.5.2.2

Some $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$y = x^{2} - 4 x$

Etapa 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Etapa 12

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ é o inverso de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ e $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ e os compare.

Etapa 12.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Encontre o intervalo de $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[2, \infty)$

Etapa 12.2.2

Encontre o intervalo de $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2]$

Etapa 12.2.3

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

A união consiste em todos os elementos contidos em cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 12.3

Encontre o domínio de $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

Etapa 12.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.1

Divida cada termo em $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.1.1

Divida cada termo em $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 12.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 12.3.2.1.2.2

Divida $- 4 - x$ por $1$ .

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Etapa 12.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$- 4 - x \leq 0$

Etapa 12.3.2.2

Some $4$ aos dois lados da desigualdade.

$- x \leq 4$

Etapa 12.3.2.3

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x \leq 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 12.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 12.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{4}{- 1}$

Etapa 12.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.2.3.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x \geq - 4$

Etapa 12.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 4, \infty)$

Etapa 12.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ é o intervalo de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ é o domínio de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ é o inverso de $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

Etapa 13