Pré-cálculo Exemplos

$C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 3 t^{2} + 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3 t^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.8.1

Some $6 t$ e $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.7

Subtraia $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Fatore $- 1$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8.4

Reescreva $- (3 t^{2} - 1)$ como $- 1 (3 t^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$C'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.2

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + 0) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $6 t$ e $0$ .

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.3.7.2

Mova $6$ para a esquerda de ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 \cdot ({(3 t^{2} + 1)}^{2} t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 3 t^{2} + 1$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 (3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.3

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.6

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + 0))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.7.1

Some $6 t$ e $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.7.2

Mova $6$ para a esquerda de $3 t^{2} + 1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) (6 \cdot ((3 t^{2} + 1) t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.7.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Etapa 2.5.8

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.5.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.9.1

Multiplique $\frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ por $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + 0$

Etapa 2.5.9.2

Some $- \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$ e $0$ .

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.3.1.1

Reescreva ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ como $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{6 ((3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.2

Expanda $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2} + 1) + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.3.1.3.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 (t^{2} t^{2})) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2 + 2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{4}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.5

Multiplique $3 t^{2}$ por $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.3.2

Some $3 t^{2}$ e $3 t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 6 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{(6 (9 t^{4}) + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.5.1

Multiplique $9$ por $6$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.5.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.5.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{4} t + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.1

Multiplique $t^{4}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.1.1

Mova $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.1.2

Multiplique $t$ por $t^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{1 + 4} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.2.1

Mova $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.7.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{1 + 2} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.8.1

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.8.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.9.1

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.9.1.1

Mova $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9.1.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.9.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{1 + 2} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9.1.3

Some $1$ e $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.9.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.10

Expanda $(- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3} + t) + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{2} t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.2.1

Mova $t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 (t^{3} t^{2})) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{3 + 2}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{5}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.3

Multiplique $- 36$ por $3$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.4

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.4.1

Mova $t$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.4.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.11.1.4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{1 + 2} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.1.5

Multiplique $3$ por $12$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 36 t^{3} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.2

Some $- 36 t^{3}$ e $36 t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 0 + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.1.11.3

Some $- 108 t^{5}$ e $0$ .

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.2

Subtraia $108 t^{5}$ de $54 t^{5}$ .

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.3.3

Some $6 t$ e $12 t$ .

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Fatore $18 t$ de $- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1.1

Fatore $18 t$ de $- 54 t^{5}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Fatore $18 t$ de $36 t^{3}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Fatore $18 t$ de $18 t$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Fatore $18 t$ de $18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2})$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Fatore $18 t$ de $18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.2

Reescreva $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.3

Deixe $u = t^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.4.1.1

Fatore $2$ de $2 u$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.1.2

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$C'' (t) = - \frac{18 t (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 u - 1$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1^{2}))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.4.7

Fatore.

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{2} - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5

Cancele o fator comum de $- 3 t^{2} - 1$ e ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.1

Fatore $- 1$ de $- 3 t^{2}$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1 \cdot 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.3

Fatore $- 1$ de $- (3 t^{2}) - 1 (1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.4

Reescreva $- (3 t^{2} + 1)$ como $- 1 (3 t^{2} + 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.5

Fatore $3 t^{2} + 1$ de $18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)$ .

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.6.5.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.5.6.1

Fatore $3 t^{2} + 1$ de ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ .

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.5.6.2

Cancele o fator comum.

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.5.6.3

Reescreva a expressão.

$C'' (t) = - \frac{(18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.6

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$C'' (t) = - \frac{- 18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C'' (t) = \frac{(18 t (t + 1)) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.6.8

Multiplique $- - \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$C'' (t) = 1 (\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}})$

Etapa 2.6.8.2

Multiplique $\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ por $1$ .

$C'' (t) = \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $3 t^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Some $6 t$ e $0$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.7

Subtraia $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Fatore $- 1$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.8.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.8.4

Reescreva $- (3 t^{2} - 1)$ como $- 1 (3 t^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $C (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 t^{2} - 1 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 t^{2} = 1$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $3 t^{2} = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $3 t^{2} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.3.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.3.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.3.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.3.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.3.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.3.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{18 (\frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine $18$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

Etapa 9.2.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Reduza a expressão $\frac{18 \sqrt{3}}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1.1

Fatore $3$ de $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.1.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 (1)} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.1.2

Divida $6 \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 9.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

Etapa 9.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

Etapa 9.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.8.1

Combine $\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$ e $6$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.8.2

Combine $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.8.3

Multiplique $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3} - 3}{3}$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

Etapa 9.3.8.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

Etapa 9.3.9

Reduza a expressão $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.9.1

Fatore $3$ de $(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

Etapa 9.3.9.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

Etapa 9.3.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

Etapa 9.3.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 6) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.5

Multiplique $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.5.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.8

Expanda $(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 (\sqrt{3} - 3) + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.9.1.1

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.2

Multiplique $6 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.9.1.2.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.9.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.10.9.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.4

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.1.5

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.2

Subtraia $18 \sqrt{3}$ de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 + 18 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.3

Some $- 18$ e $18$ .

$\frac{\frac{0 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 9.3.10.9.4

Subtraia $12 \sqrt{3}$ de $0$ .

$\frac{\frac{- 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 9.3.11

Cancele o fator comum de $- 12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.11.1

Fatore $3$ de $- 12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

Etapa 9.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

Etapa 9.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

Etapa 9.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

Etapa 9.3.11.2.4

Divida $- 4 \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1

Fatore $4$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{8}$

Etapa 9.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (2)}$

Etapa 9.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Etapa 9.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 9.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

Etapa 11.2.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Fatore $3$ de $9$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

Etapa 11.2.2.4.2

Cancele o fator comum.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

Etapa 11.2.2.4.3

Reescreva a expressão.

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

Etapa 11.2.2.5

Divida $3$ por $3$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

Etapa 11.2.2.6

Some $1$ e $1$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{18 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$\frac{- 18 \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.1.2

Combine $- 18$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.7

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

Etapa 13.2.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1.1

Reduza a expressão $\frac{- 18 \sqrt{3}}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.1.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 (1)} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3}}{1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.1.2

Divida $- 6 \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

Etapa 13.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

Etapa 13.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

Etapa 13.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.8.1

Combine $\frac{- \sqrt{3} + 3}{3}$ e $- 6$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3} \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.8.2

Combine $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.8.3

Multiplique $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{- \sqrt{3} - 3}{3}$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

Etapa 13.3.8.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

Etapa 13.3.9

Reduza a expressão $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.9.1

Fatore $3$ de $(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

Etapa 13.3.9.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

Etapa 13.3.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

Etapa 13.3.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} \cdot - 2 + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} - 6) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.5

Multiplique $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.5.1

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.8

Expanda $(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3} - 3) - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.9.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.2

Multiplique $6$ por $- 3$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.3

Multiplique $- 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.9.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.9.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.10.9.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.5

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.2

Some $- 6 \sqrt{3}$ e $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{- 18 + 18 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.3

Some $- 18$ e $18$ .

$\frac{\frac{0 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 13.3.10.9.4

Some $0$ e $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Etapa 13.3.11

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.11.1

Fatore $3$ de $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

Etapa 13.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

Etapa 13.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

Etapa 13.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

Etapa 13.3.11.2.4

Divida $4 \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (\sqrt{3})}{8}$

Etapa 13.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Etapa 13.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Etapa 13.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 14

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $t$ por $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1}$

Etapa 15.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

Etapa 15.2.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.4.5

Avalie o expoente.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

Etapa 15.2.2.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

Etapa 15.2.2.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.6.1

Fatore $3$ de $9$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

Etapa 15.2.2.6.2

Cancele o fator comum.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

Etapa 15.2.2.6.3

Reescreva a expressão.

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

Etapa 15.2.2.7

Divida $3$ por $3$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

Etapa 15.2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 15.2.3

Multiplique $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{6})$ é um máximo local

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{6})$ é um mínimo local

Etapa 17