Pré-cálculo Exemplos

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

Etapa 1

Some $37$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

Etapa 2

Complete o quadrado de $12 x^{2} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

Etapa 2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 6}{12}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Fatore $6$ de $- 6$ .

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

Etapa 2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 12)}^{2}$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (12)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 2.4.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 2.4.2.1.1.4

Multiplique $12^{2}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

Etapa 2.4.2.1.1.5

Fatore $12$ de $12^{2}$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

Etapa 2.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.6.1

Fatore $12$ de $4 \cdot 12$ .

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{12}{4}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

Etapa 2.4.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

Etapa 2.4.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{3}{1}$

Etapa 2.4.2.1.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e = 0 - 3$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$e = - 3$

Etapa 2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

Etapa 3

Substitua $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ por $12 x^{2} - 12 x$ na equação $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

Etapa 4

Mova $- 3$ para o lado direito da equação, somando $3$ aos dois lados.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

Etapa 5

Complete o quadrado de $20 y^{2} + 40 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

Etapa 5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $40$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{20}{20}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{20}{20}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Eleve $40$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $20$ .

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

Etapa 5.4.2.1.3

Divida $1600$ por $80$ .

$e = 0 - 1 \cdot 20$

Etapa 5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$e = 0 - 20$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $20$ de $0$ .

$e = - 20$

Etapa 5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ .

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

Etapa 6

Substitua $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ por $20 y^{2} + 40 y$ na equação $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

Etapa 7

Mova $- 20$ para o lado direito da equação, somando $20$ aos dois lados.

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

Etapa 8

Simplifique $37 + 3 + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Some $37$ e $3$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

Etapa 8.2

Some $40$ e $20$ .

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

Etapa 9

Divida cada termo por $60$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Etapa 10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Etapa 11

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 12

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

Etapa 13

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 14

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.1.4

Subtraia $3$ de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 15.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 15.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 15.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 15.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 15.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 15.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 15.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 15.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 15.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 15.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 15.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Etapa 15.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Forma decimal:

$0.63245553 \dots$

Etapa 17