Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Combine $2$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 8.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 8.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

A solução para a equação $2 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Etapa 11.1.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Etapa 11.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 11.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 11.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 12

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{4}$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Etapa 13.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 13.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 13.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 13.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Etapa 13.2.4

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 (2)})$

Etapa 15.1.2

Cancele o fator comum.

$- 2 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Etapa 15.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 15.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.4

Multiplique $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Etapa 15.4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Etapa 16

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ é um mínimo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Etapa 17.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 17.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 17.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 17.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 17.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 17.2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 17.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 17.2.7

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Etapa 18

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{1}{2})$ é um máximo local

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{1}{2})$ é um mínimo local

Etapa 19