Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 4 x^{3} + 20 x^{2} - 100 x - 125 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$- 4 x^{3} + 20 x^{2} + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{3} + 20 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{2} x + 20 x^{2} + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 4 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x - 4 x^{2} \cdot - 5 + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 4 x^{2}$ de $- 4 x^{2} (x) - 4 x^{2} (- 5)$ .

$- 4 x^{2} (x - 5) + x^{4} - 100 x - 125 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $x^{4} - 100 x - 125$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Etapa 1.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Etapa 1.3.3

Substitua $5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua $5$ no polinômio.

$5^{4} - 100 \cdot 5 - 125$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$625 - 100 \cdot 5 - 125$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $- 100$ por $5$ .

$625 - 500 - 125$

Etapa 1.3.3.4

Subtraia $500$ de $625$ .

$125 - 125$

Etapa 1.3.3.5

Subtraia $125$ de $125$ .

$0$

Etapa 1.3.4

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - 100 x - 125}{x - 5}$

Etapa 1.3.5

Divida $x^{4} - 100 x - 125$ por $x - 5$ .

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Etapa 1.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

Etapa 1.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - 5 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

Etapa 1.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 1.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 1.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Etapa 1.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} - 25 x^{2}$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Etapa 1.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

Etapa 1.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

Etapa 1.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $25 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

Etapa 1.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

Etapa 1.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $25 x^{2} - 125 x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

Etapa 1.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

Etapa 1.3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

Etapa 1.3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $25 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

Etapa 1.3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

$25 x$

$125$

Etapa 1.3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $25 x - 125$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

$25 x$

$125$

Etapa 1.3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$25 x$

$25$

$x$

$5$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$100 x$

$125$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$100 x$

$25 x^{2}$

$125 x$

$25 x$

$125$

$25 x$

$125$

$0$

Etapa 1.3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25$

Etapa 1.3.6

Escreva $x^{4} - 100 x - 125$ como um conjunto de fatores.

$- 4 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Etapa 1.4

Fatore $x - 5$ de $- 4 x^{2} (x - 5) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $x - 5$ de $- 4 x^{2} (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 4 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Etapa 1.4.2

Fatore $x - 5$ de $(x - 5) (- 4 x^{2}) + (x - 5) (x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 4 x^{2} + x^{3} + 5 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Etapa 1.5

Some $- 4 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$(x - 5) (x^{3} + x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Etapa 1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Reescreva $x^{3} + x^{2} + 25 x + 25$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 5) ((x^{3} + x^{2}) + 25 x + 25) = 0$

Etapa 1.6.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 5) (x^{2} (x + 1) + 25 (x + 1)) = 0$

Etapa 1.6.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$(x - 5) ((x + 1) (x^{2} + 25)) = 0$

Etapa 1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 5) (x + 1) (x^{2} + 25) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 25 = 0$

Etapa 3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5

Defina $x^{2} + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x^{2} + 25$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} + 25 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 25$

Etapa 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Etapa 5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (25)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 5$

Etapa 5.2.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Etapa 5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5 i$

Etapa 5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5 i$

Etapa 5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5 i, - 5 i$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 1) (x^{2} + 25) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 1, 5 i, - 5 i$

Etapa 7