Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 7 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} - 18 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} + 7 u - 18 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + 7 u - 18$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $7$ .

$- 2, 9$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 9) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 4

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 4.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 4.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 4.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 4.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 4.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 2) (x^{2} + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 3 i, - 3 i$