Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$

Etapa 1

Some $\sqrt{3 k + 1}$ aos dois lados da equação.

$\sqrt{1 - k} = - 2 + \sqrt{3 k + 1}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - k}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - k}$ como ${(1 - k)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - k)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$1 - k = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ como $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ .

$1 - k = (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - k = - 2 (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \cdot \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $\sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.3.1

Eleve $\sqrt{3 k + 1}$ à potência de $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} \sqrt{3 k + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.3.2

Eleve $\sqrt{3 k + 1}$ à potência de $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} {\sqrt{3 k + 1}}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.1.3.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Reescreva ${\sqrt{3 k + 1}}^{2}$ como $3 k + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 k + 1}$ como ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{1}$

Etapa 3.3.1.3.1.4.5

Simplifique.

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k + 1$

Etapa 3.3.1.3.2

Some $4$ e $1$ .

$1 - k = 5 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Etapa 3.3.1.3.3

Subtraia $2 \sqrt{3 k + 1}$ de $- 2 \sqrt{3 k + 1}$ .

$1 - k = 5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

Etapa 4

Resolva $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$ .

$5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que não contêm $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k - 5$

Etapa 4.2.2

Subtraia $3 k$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = 1 - k - 5 - 3 k$

Etapa 4.2.3

Subtraia $5$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - k - 4 - 3 k$

Etapa 4.2.4

Subtraia $3 k$ de $- k$ .

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - 4 k - 4$

Etapa 5

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 4 \sqrt{3 k + 1})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 k + 1}$ como ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique ${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$16 {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$16 {(3 k + 1)}^{1} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique.

$16 (3 k + 1) = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (3 k) + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Multiplique $3$ por $16$ .

$48 k + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.2.1.6.2

Multiplique $16$ por $1$ .

$48 k + 16 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique ${(- 4 k - 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Reescreva ${(- 4 k - 4)}^{2}$ como $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ .

$48 k + 16 = (- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$

Etapa 6.3.1.2

Expanda $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k - 4) - 4 (- 4 k - 4)$

Etapa 6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k - 4)$

Etapa 6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k \cdot k - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3.1.2

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1.2.1

Mova $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 (k \cdot k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3.1.2.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k - 4 \cdot - 4$

Etapa 6.3.1.3.1.6

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k + 16$

Etapa 6.3.1.3.2

Some $16 k$ e $16 k$ .

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 32 k + 16$

Etapa 7

Resolva $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Como $k$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$16 k^{2} + 32 k + 16 = 48 k + 16$

Etapa 7.2

Mova todos os termos que contêm $k$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Subtraia $48 k$ dos dois lados da equação.

$16 k^{2} + 32 k + 16 - 48 k = 16$

Etapa 7.2.2

Subtraia $48 k$ de $32 k$ .

$16 k^{2} - 16 k + 16 = 16$

Etapa 7.3

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$16 k^{2} - 16 k + 16 - 16 = 0$

Etapa 7.4

Combine os termos opostos em $16 k^{2} - 16 k + 16 - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Subtraia $16$ de $16$ .

$16 k^{2} - 16 k + 0 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $16 k^{2} - 16 k$ e $0$ .

$16 k^{2} - 16 k = 0$

Etapa 7.5

Fatore $16 k$ de $16 k^{2} - 16 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Fatore $16 k$ de $16 k^{2}$ .

$16 k (k) - 16 k = 0$

Etapa 7.5.2

Fatore $16 k$ de $- 16 k$ .

$16 k (k) + 16 k (- 1) = 0$

Etapa 7.5.3

Fatore $16 k$ de $16 k (k) + 16 k (- 1)$ .

$16 k (k - 1) = 0$

Etapa 7.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$k = 0$

$k - 1 = 0$

Etapa 7.7

Defina $k$ como igual a $0$ .

$k = 0$

Etapa 7.8

Defina $k - 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Defina $k - 1$ como igual a $0$ .

$k - 1 = 0$

Etapa 7.8.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$k = 1$

Etapa 7.9

A solução final são todos os valores que tornam $16 k (k - 1) = 0$ verdadeiro.

$k = 0, 1$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$ verdadeira.

$k = 1$