Pré-cálculo Exemplos

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y - 1$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ por $y - 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ por $y - 1$ .

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.3.1.2.1

Mova $y$ .

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

Etapa 3.2.3.1.5

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

Etapa 3.2.3.2

Some $4 y$ e $10 y$ .

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3 y$ de $14 y$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

Etapa 3.3.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Subtraia $5$ de $- 10$ .

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

Etapa 3.3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.5

Substitua os valores $a = - 4$ , $b = 11$ e $c = - 15$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1.1

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ .

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Etapa 3.3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.1.2.2

Multiplique $16$ por $- 15$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.1.3

Subtraia $240$ de $121$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.1.4

Reescreva $- 119$ como $- 1 (119)$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (119)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

Etapa 3.3.6.3

Simplifique $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ .

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

Etapa 3.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$