Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5 x^{4} + 3 x^{2} - x}{x^{3}}$

Etapa 1

Fatore $x$ de $5 x^{4} + 3 x^{2} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + 3 x^{2} - x}{x^{3}}]$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) - x}{x^{3}}]$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

Etapa 1.4

Fatore $x$ de $x (5 x^{3}) + x (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

Etapa 1.5

Fatore $x$ de $x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}]$

Etapa 2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

Etapa 2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} + 3 x - 1}{x^{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x^{3} + 3 x - 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} + 3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.5

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + 0) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.10

Some $15 x^{2} + 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 4.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 4.12.2

Fatore $x$ de $x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ .

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Etapa 4.12.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (15 x^{2} + 3)$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

Etapa 4.12.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 4.12.2.3

Fatore $x$ de $x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{15 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{15 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 6.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{15 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{15 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

Etapa 6.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x + 2}{x^{3}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $10 x^{3}$ de $15 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} + 3 x - 6 x + 2}{x^{3}}$

Etapa 6.3.3

Subtraia $6 x$ de $3 x$ .

$\frac{5 x^{3} - 3 x + 2}{x^{3}}$