Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 6 x - 7}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} + 6 x - 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 7$ e cuja soma é $6$ .

$- 1, 7$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x}{(x - 1) (x + 7)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 1) (x + 7)$ .

$\frac{x (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 7)$ por $1$ .

$x = (A) (x + 7) + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.7.3

Mova $7$ para a esquerda de $A$ .

$x = A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x = A x + 7 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x = A x + 7 A + (B) (x - 1)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A x + 7 A + B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.7.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$x = A x + 7 A + B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.7.7

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$x = A x + 7 A + B x - B$

Etapa 1.8

Mova $7 A$ .

$x = A x + B x + 7 A - B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 7 A - 1 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = 7 A - 1 B$

$1 = A + B$

$0 = 7 A - 1 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 7 A - 1 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = 7 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 A - 1 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 7 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$0 = 7 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $7 (1 - B) - 1 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 7 \cdot 1 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$0 = 7 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$0 = 7 - 7 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = 7 - 7 B - B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 7 B - B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 7 B$ .

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 7 - 8 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $7 - 8 B = 0$ .

$7 - 8 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- 8 B = - 7$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 8 B = - 7$ por $- 8$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 8 B = - 7$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{7}{8}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{7}{8}$ .

$A = 1 - (\frac{7}{8})$

$B = \frac{7}{8}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{7}{8})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{8}{8} - \frac{7}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{8 - 7}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia $7$ de $8$ .

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{8}, B = \frac{7}{8}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{x - 1} + \frac{\frac{7}{8}}{x + 7}$